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Divisibilidad. Teoría básica

Relación de divisibilidad. Múltiplos y divisores.

Un número a es divisible por otro número cuando la división del número entre el número a es exacta.       

     Por ejemplo   $12$   es divisible por  $3$  porque   $12:3=4$  y de resto igual a cero, es decir que la división es exacta.

En ese caso podemos decir que  a  es múltiplo de b,  y que b  es divisor de a.

    Por tanto, en el ejemplo anterior,  $12$ es múltiplo de $3$ y a su vez afirmamos que $3$ es divisor de $12$

Los múltiplos y los divisores cumplen algunas propiedades que hay que tener en cuenta:

     a)  Todo número  a es múltiplo del número $1$ y de sí mismo.

     b)  El conjunto de múltiplos de un número es infinito, pues los múltiplos de un número se obtienen multiplicando dicho número por el                 conjunto de números enteros (que es infinito).

                 Por ejemplo,  los múltiplos de 3 $=\dot{3}=$ $\{3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39, 42, 45,...\}$

     c)  Todo número b tiene como divisores, al menos,  al número $1$ y a sí mismo

     d)  Los divisores de un número b son finitos, es decir todo número entero tiene un número finito de divisores.

                  Por ejemplo, los divisores de 18,  $Div(18)=\{1, 2, 3, 6, 9, 18\}$

Criterios de divisibilidad

Por tanto, para saber cuando un número es divisible por otro y así poder determinar múltiplos o divisores, existen unas reglas básicas llamadas criterios de divisibilidad. Veamos las más importantes:

     - Un número es divisible por $2$ cuando es par, es decir si la cifra de las unidades es 0, 2, 4, 6  u 8.

            Por ejemplo, el número $32256$ es divisible por $2$ pues la cifra de las unidades es un $6$.

     - Un número es divisible por $3$ cuando la suma de todas sus cifras es divisible entre 3

            Por ejemplo el número  $3462$ es divisible por $3$ pues $3+4+6+2=15$ que es divisible por $3$.

     - Un número es divisible por $4$ cuando el número que forman sus dos últimas cifras es divisible por $4$.

            Por ejemplo el número $3128$ es divisible por $4$ pues $28$ lo es.

     - Un número es divisible por $5$ cuando la última cifra (la de las unidades) es $0$  ó $5$

            Por ejemplo los números  $2232035$  y  $420$ son divisibles por 5.

     - Un número es divisible por $7$ cuando  al restar a dicho número sin la cifra de las unidades  el doble de la cifra de las unidades y el resultado es 0 o múltiplo de 7.

            Por ejemplo, $546$ es divisible por $7$ pues si hacemos $54-2\cdot 6=54-12=42$ que es múltiplo de $7$

     - Un número es divisible por $9$ cuando la suma de sus cifras es divisible por $9$.

            Por ejemplo, el número $387216$ es divisible por $9$ pues $3+8+7+2+1+6=27$ que es divisible por $9$.

     - Un número es divisible por $10$ cuando termina en $0$

            Por ejemplo, el número $2310$ es divisible por $10$ pues la cifra de las unidades es $0$ 

     - Un número es divisible por $11$ cuando la suma de cifras alternas producen el mismo resultado o una diferencia múltiplo de $11$

           Por ejemplo, el número $253$ es múltiplo de $11$ pues la suma de las cifras de las unidades y las centenas $2+3$ es igual a la cifra de las decenas $5$. 

           El número $342716$ es divisible por $11$ pues $4+7+6=17$  y $3+2+1=6$ se diferencian en $11$unidades

            

Números primos

Un número p es primo cuando solamente puede dividirse por el número $1$ y por sí mismo.

Los primeros números primos son $2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31 etc

Los números primos son infinitos y los que podemos encontrar entre los $100$ primeros números naturales los encontramos en la llamada Criba de Eratóstenes (que va eliminando de la lista de posibles números primos aquellos que sean 1º múltiplos de 2, despues loque sean múltiplos de 3, luego del de 5 y así sucesivamente hasta que solo quedan los que son primos) y que a continuación se expone. Aparecen en color rojo

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

Descomposición en factores primos

Todo número natural se puede expresar de manera única como producto de números primos. Además dicha forma de expresión es distinta para cada número. 

     Por ejemplo $18=2\cdot3^2$

Para obtener la descomposición en producto de factores primos hay que utilizar con eficacia los criterios de divisibilidad.

Existe un procedimiento que consiste en ir dividiendo de forma sucesiva el número original y sus resultados por los distintos números primos en que sea posible . Veamos un ejemplo:

72 2
36 2
18 2
9 3
3 3
1

Por tanto podemos expresar el número $72$ como $72=2\cdot2\cdot2\cdot3\cdot3=2^3\cdot3^2$

Máximo común divisor (M.C.D.)

El máximo común divisor de un conjunto de números naturales es el mayor de todos los divisores que tienen en común dichos números.

Por ejemplo, veamos cuál es el número natural más grande que divide a los números  $72$ , $60$ y $48$. Si consideramos el conjunto de divisores que tiene cada uno y buscamos el mayor de los que tengan en común, lo habremos logrado.        

$Div(60)=\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60\}$                                

$Div(48)=\{1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48\}$                                                       

$Div(72)=\{1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72\}$                       

Los divisores que tienen en común son $1, 2, 3, 4, 6, 12$ y el mayor de todos es el número $12$, por lo tanto el $ M.C.D.(48, 60 , 72) = 12 $

En la práctica, la forma de obtener de forma rápida el máximo común divisor de un conjunto de números es haciendo:

      1º Se calculan las descomposiciones factoriales de los números en cuestión.

      2º De las potencias que forman las descomposiciones factoriales, elegimos aquellas que tengan base común pero que estén elevadas al menor exponente.

      3º El máximo común divisor se obtiene multiplicando las potencias elegidas anteriormente.

Por ejemplo, Calculamos el $ M.C.D. (48,60,72)$

Si realizamos las descomposiciones se obtiene:

                                                        $48=2^4\cdot3$         ;        $60=2^2\cdot3\cdot5$       ;      $72=2^3\cdot3^2$

Las únicas potencias que tienen base común son aquellas de base 2 y de base 3 y las que tienen menor exponente son $2^2$   y    $3$, y si las multiplicamos se obtiene $2^2\cdot3=12$.

     Por lo tanto el $M.C.D.(48, 60, 72)=12$

    

Mínimo Común Múltiplo (m.c.m.)

El Mínimo Común Múltiplo de un conjunto de números naturales es el menor de todos los múltiplos que tienen en común dichos números.

Por ejemplo, veamos cuál es el menor de todos los múltiplos que tienen en común el siguiente conjunto de números números  $8$ , $12$ y $18$.

Si consideramos el conjunto de los primeros múltiplos  que tiene cada uno y buscamos el menor de los que tengan en común, lo habremos logrado.        

$Múltiplos de 8=\dot{8}=\{8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72, 80, 88, 96, ...\}$                                

$Múltiplos de 12=\{12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108, 120, ...\}$                                                       

$Múltiplos de 18=\{18, 36, 54, 72, 90, 108, 126, 144, 162, 180, ...\}$                       

El primer múltiplo que es común a los 3 números es el $72$, por lo tanto el $m.c.m.(8, 12, 18)$

En la práctica, la forma de obtener de forma rápida el mínimo común múltiplo de un conjunto de números es haciendo:

      1º Se calculan las descomposiciones factoriales de los números en cuestión.

      2º Se eligen, de las potencias que forman las descomposiciones factoriales, aquellas que tengan base común y que estén elevadas al mayor  exponente, y además aquellas que no tengan base común.

      3º El mínimo común múltiplo se obtiene multiplicando las potencias elegidas anteriormente.

Por ejemplo, calculemos el $m.c.m. (8,12,15)$ 

Si realizamos las descomposiciones se obtiene:

                                                        $8=2^3$         ;        $12=2^2\cdot3$       ;      $15=3\cdot5$

Las únicas potencias que tienen base común son  las que tienen  base 2 y de base 3 y las que tienen mayor exponente son $2^3$   y    $3$ y además hay una que no se repite que es el $5$ y si las multiplicamos se obtiene $2^3\cdot3\cdot5=120$.

        Por lo tanto el $m.c.m.(8, 12, 15)=120$