# 4.1. No dejes de crecer

## Diccionario

## Celdas

Definición

  Espacio rectangular de una tabla que contiene un texto, un gráfico o un valor.

Ejemplo

  Introduce los datos en las celdas correspondientes.

## Escepticismo

Definición

  Duda o falta de confianza en la verdad de una cosa.

Ejemplo

  Algunas personas muestran su escepticismo en la utilidad de las funciones exponenciales.

## Radioactividad

Definición

  Proceso por el que un núcleo atómico inestable pierde energía y emite radiación.

Ejemplo

  La radioactividad artificial se utiliza en medicina nuclear.

## Termonucleares

Definición

  Bomba termonuclear o bomba de hidrógeno se basa en la obtención de la energía desprendida al fusionarse dos núcleos atómicos.

Ejemplo

  Actualmente hay nueve países que tienen bombas termonucleares.

Mi querida Afunción, seguro que has oído en muchas ocasiones la expresión …

está creciendo exponencialmente.

¿Te has parado a pensar en lo que hay de cierto en ella?

Vas a descubrir que hay aspectos de la vida real siguen ese dicho.

Seguro que te sorprendes al encontrarlo en las situaciones más inesperadas.

¿Te apuntas al reto?

¿Sí?

!No esperaba menos de ti!. ¡Pues adelante!

## Lectura facilitada

Afunción seguro que has oído la expresión está creciendo exponencialmente.

Vas a descubrir que hay aspectos de la vida real que crecen exponencialmente.

¿Te apuntas al reto?

¡Adelante!

# 1. ¿Pero esto qué es?

Afunción, veamos qué tal andas de intuición. Guíate por ella para responder a la pregunta:

#### ¿Qué es una función exponencial?

## a. Son las del tipo \(f(x)= x^n\ con \ n\ \in \ \mathbb{Z}\)

¡Ooooh! Si esta fuera la respuesta correcta entonces todas las funciones serían exponenciales porque siempre puedes encontrar un exponente en una función (aunque sea el 1, por ejemplo \( f(x)=3x^1\ -\ 2 \).

## b. Son aquellas que tienen la incógnita en el exponente, es decir, son del tipo \( f(x)\ =\ a^x \)

¡¡Claro que sí!! Bien hecho. Tu intuición no falla. Tienes buen olfato matemático.

## c. No existe tal tipo de función, puesto que ni en la naturaleza, ni en ningún fenómeno de otra índole podemos encontrar que se cumpla el dicho “crece exponencialmente”

¡¡Nooooo!! Deberías tener más fe en la sabiduría popular. Todos los dichos aparecen porque de alguna forma son ciertos.

## Lectura facilitada

Afunción responde a la pregunta ¿qué es una función exponencial?

Una función exponencial es aquella que tiene la incógnita en el exponente.

\(f(x) = a^x\)

- \(a\) se llama base.
- \(x\) se llama exponente.

## Pista

Si una función es exponencial ¿qué crees que debes encontrar en su exponente? ¿Un número, una letra o cualquier cosa es válida?

# 2. No todo vale

Ya sabemos que una función exponencial es del tipo:

f(x)\ =\ a^x

Pero atención, debes tener en cuenta dos cosas, la base a debe cumplir dos condiciones:

a > 1 \\ a \neq 1

Es decir, Afunción, que \( f(x)\ =\ 3^x \) o \( f(x)\ =\ \Large{ \left ( \frac 1 3 \right )^x }\) serían funciones exponenciales.

Sin embargo, esto no es todo. Aún tienes mucho que aprender para triunfar en el Mathematical Sport Challenge.

Te lo iba explicar yo, pero… viendo que tienes gran intuición te lo plantearé de otra forma.

¡No te rindas que es peor!

## Lectura facilitada

Sabes que una función exponencial es del tipo \(f (x) = a^x\)

La base a debe cumplir dos condiciones

- \(a > 1 \)
- \( a ≠ 1 \)

Las siguientes funciones son funciones exponenciales.

\( f (x) = 3^x \)

\( f (x)= \Large \left ( \frac {1}{3} \normalsize \right )^x\)

Aún tienes que aprender mucho para triunfar en el Mathematical Sport Challege.

¡No te rindas!

# 3. Descúbrelo por ti mismo

Para conocer todos los secretos secretísimos de la función exponencial vas a utilizar una actividad de Geogebra.

Pero para tener éxito en tu investigación sobre la función exponencial debes aprender antes los siguientes aspectos. Lee y escucha, donde corresponda, con atención y toma notas en tu cuaderno para luego fijarte en los puntos clave de \( f(x) = a^x \).

## Dominio

audio/mpeg

El dominio de definición de una función está formado por todos aquellos valores de \(x\), es decir, la variable independiente, para los cuales existe un valor de la variable dependiente, es decir, la \(y\).

## Recorrido

audio/mpeg

El recorrido de una función, también llamado imagen, está formado por todos aquellos valores de la variable dependiente, es decir, todos los valores que toma la y.

## Crecimiento y decrecimiento

audio/mpeg

Influencia del valor de a en la forma de la función \( f(x) =\ a^x\), es decir, cuándo es creciente, cuándo decreciente y cuándo constante.

Una función definida en todos los puntos de un intervalo es creciente cuando al aumentar los valores de x aumentan los valores de y. Y al contrario, una función definida en todos los puntos de un intervalo es decreciente cuando al aumentar los valores de x disminuyen los valores de y. Finalmente, una función es constante cuando para cualquier valor x los valores de y son siempre los mismos.

## Puntos

Puntos (son 2), por los que seguro que va a pasar. Fíjate bien cuando trabajes con Geogebra.

## Asíntotas

audio/mpeg

Una asíntota es una recta a la que se va acercando la función cuando la variable independiente, es decir, la x se va aproximando a ciertos valores. Ten en cuenta que la gráfica de la función nunca toca a la asíntota. En el caso de la función exponencial la asíntota es una recta horizontal, como puedes ver en la imagen.

Para estudiar con Geogebra los aspectos anteriores (dominio, recorrido. crecimiento...) debes jugar con los valores del coeficiente a, sólo tienes que cambiar su valor usando el deslizador.

Recuerda quién es a: \( f(x)\ =\ a^x \)

## Lectura facilitada

Aprende aspectos importantes sobre la función exponencial.

## Dominio

El dominio de una función está formado por todos aquellos valores de \(x\).

La \(x\) es la variable independiente.

Para todos los valores de \(x\) existe un valor de la variable independiente.

La variable dependiente es la \(y\).

## Recorrido

El recorrido de una función también se le llama imagen.

El recorrido de una función está formado por todos los valores de la variable dependiente.

Son todos aquellos valores que toma la \(y\).

## Crecimiento y decrecimiento

Una función es creciente en un intervalo cuando al aumentar los valores de \(x\)

aumentan los valores de \(y\).

Una función es decreciente en un intervalo cuando al aumentar los valores de \(x\)

disminuyen los valores de \(y\).

Una función es constante cuando para cualquier valor de \(x\)

los valores de \(y\) son siempre los mismos.

## Puntos

La función exponencial es seguro que pasa por dos puntos.

\(Punto\ (1,\ a)\)

\(Punto\ (0,\ 1)\)

## Asíntotas

Una asíntota es una recta hacia la que se va aproximando la función

cuando la variable independiente se va aproximando a determinados valores.

La variable independiente es la \(x\).

La gráfica de la función nunca corta a la asíntota.

Estudia con Geogebra los aspectos anteriores.

- El dominio
- El recorrido
- Crecimiento y decrecimiento
- Puntos

Debes cambiar los valores del coeficiente \(a\).

El valor de \(a\) puedes cambiarlo con el deslizador.

Recuerda \( f(x)\ =\ a^x \)

Accede a la actividad de GEOGEBRA

## Audio

audio/mpeg

## Apoyo visual

## Retroalimentación

IMPORTANTE: utiliza la retroalimentación para autoevaluar tu trabajo en esta actividad con Geogebra y asegurarte de que estás preparado para lo que viene.

Si crees que ya tienes una visión general de cómo es la función exponencial evalúate usando estas rúbricas.

| 0 PUNTOS | 1 PUNTOS | 2 PUNTOS
--- | --- | --- | ---
Dominio | No identifico el dominio. | Creo que sé cuál es, aunque tengo alguna duda. | Está muy claro cuál es el dominio.
Recorrido | No identifico el recorrido. | Creo que sé cuál es, aunque tengo alguna duda. | Está muy claro cuál es el recorrido.
Influencia del valor de a (base de la función) en el crecimiento/decrecimiento. | No detecto la influencia de a. | Sé lo que ocurre cuando a=1, pero no veo la diferencia entre ___ y ___ . | Identifico con claridad lo que ocurre con diferentes valores de a.
Puntos por los que seguro va a pasar | No identifico ninguno de los dos puntos. | Identifico uno de los puntos. | Tengo claro cuáles son los dos puntos por los que siempre pasa la gráfica.
Asíntotas | No identifico la asíntota. | Veo cuál es la asíntota pero no sé porque motivo lo es. | Identifico la asíntota y entiendo el porqué esa recta es asíntota de la función.

# 3. Una imagen vale más que mil palabras

Muy bien Afunción. Hasta ahora has superado todos los desafíos de la función exponencial. Pero no eres nadie si no sabes representarla gráficamente. No te preocupes, yo Rectoparábolo te aseguro que vas a aprender a hacer la gráfica de la función exponencial.

¡Vamos a por ello! Vas a hacer la gráfica de dos funciones \( f(x)\ =\ 2^x\) y \( f(x)\ =\ \Large \left ( \frac{1}{2} \normalsize \right )^x\) .

Para que no tengas problemas y vayas directa al grano deberías ver primero el siguiente vídeo en el que te explico cómo hacerlo con dos ejemplos muy parecidos:

\( f(x) = 3^x\) y \( f(x) = \Large \left ( \frac {1}{3} \right )^x \).

Cómo hacer la gráfica de la función exponencial

¡Es tu turno Afunción!

Pulsa en este enlace Geogebra para hacer tú las gráficas de \(f(x)\ =\ 2^x\) y \( f(x)\ =\ \Large \left ( \frac{1}{2} \normalsize \right )^x\) .

## Lectura facilitada

Representa gráficamente la función exponencial.

Vas a hacer la gráfica de dos funciones

\( f (x) =\ 2^x\)

\(f (x)= \left ( \Large \frac{1}{2} \right )^x\)

Observa el vídeo que explica cómo representar en una gráfica dos funciones exponenciales.

Pulsa en este enlace Geogebra para hacer tú las gráficas.

\( f (x) =\ 2^x \)

\(f (x)= \left ( \Large \frac{1}{2} \right )^x\)

# 4. Trasladar es trabajar menos

Afunción lo va teniendo todo más claro. Lo único es que le parece difícil crear una función y que pase por donde ella quiera. Eso será absolutamente necesario para diseñar el recorrido en el Mathematical Sport Challenge.

¿Cómo? Le contesta Rectoparábolo. Pero si eso es un juego de niños. Préstame atención y verás que facilón. Tienes que ir a por la matrícula de honor.

## ¡Para arriba!

Observa la gráfica de \(f(x)\ =\ 2^x \)

Como ves la gráfica pasa por el punto A (0,1).

¿Quieres que la gráfica suba 1,5? ¡Fácil! Suma 1,5.

\(f(x)=\ 2^x \ +\ 1,5 \)

Ahora la gráfica queda.

Observa que el punto A está ahora 1,5 unidades más arriba. ¿Fácil?

¡Facilísimo!

## ¡Para abajo!

Observa la gráfica de \(f(x)\ =\ 2^x \)

Como ves la gráfica pasa por el punto A (0,1).

¿Quieres que la gráfica baje 1 y pase por el origen de coordenadas? ¡Fácil! Resta 1.

\(f(x)=\ 2^x \ -\ 1 \)

Ahora la gráfica queda.

¡Conseguido! ¿Fácil?

¡Facilísimo!

## ¡A la derecha!

Observa la gráfica de \(f(x)\ =\ 2^x \)

Como ves la gráfica pasa por el punto A (0,1).

¿Quieres que el punto A por el que pasa la gráfica se mueva dos unidades a la derecha? Sólo tienes que restar 2 al exponente. ¿Al exponente? Pues sí, Afunción. Para mover la gráfica a la derecha restamos 2 ahí arriba. Queda así.

\(f(x)=\ 2^{x - 2} \)

Ahora la gráfica queda.

¿Y ya está? Pues sí, ya lo tienes.

Observa la tabla:

Si le damos valores a la x en la función \( f(x) = 2^x\)

\(x\) | 0 | 1 | 2 | 3
\(f(x)\) | 1 | 2 | 4 | 8

Hacemos una tabla similar para la función \(f(x)=\ 2^{x - 2} \)

\(x\) | 2 | 3 | 4 | 5
\(f(x)\) | 1 | 2 | 4 | 8

Observa las celdas del mismo color, ¿te das cuenta de que para el mismo valor de \(f(x) \) el valor de \(x\) es 2 unidades mayor en la tabla de abajo. ¡Hemos conseguido mover la gráfica a la derecha 2 unidades!

¡Facilísimo!

## ¡A la izquierda!

Observa la gráfica de \(f(x)\ =\ 2^x \)

Como ves la gráfica pasa por el punto A (0,1).

¿Quieres que el punto A por el que pasa la gráfica se mueva dos unidades a la izquierda? Sólo tienes que sumar 2 al exponente. ¿Al exponente? Pues sí, Afunción. Para mover la gráfica a la izquierda sumamos 2 ahí arriba. Queda así.

\(f(x)=\ 2^{x + 2} \)

Ahora la gráfica queda.

¿Y ya está? Pues sí, ya lo tienes.

Observa la tabla:

Si le damos valores a la x en la función \( f(x) = 2^x\)

\(x\) | 0 | 1 | 2 | 3
\(f(x)\) | 1 | 2 | 4 | 8

Hacemos una tabla similar para la función \(f(x)=\ 2^{x + 2} \)

\(x\) | -2 | -1 | 0 | 1
\(f(x)\) | 1 | 2 | 4 | 8

Observa las celdas del mismo color, ¿te das cuenta de que para el mismo valor de \(f(x) \) el valor de \(x\) es 2 unidades menor en la tabla de abajo. ¡Hemos conseguido mover la gráfica a la izquierda 2 unidades!

¡Facilísimo!

Definición

Espacio rectangular de una tabla que contiene un texto, un gráfico o un valor.

Ejemplo

Introduce los datos en las celdas correspondientes.

## Lectura facilitada

A Afunción le parece difícil crear una función

que tenga en la gráfica los puntos que ella necesita.

Es necesario para diseñar el recorrido en el Mathematical Sport Challenge.

## ¡Para arriba!

Observa la gráfica de \(f(x)\ =\ 2^x \)

Como ves la gráfica pasa por el punto A (0,1).

Para que la gráfica suba a 1,5 debes sumar 1,5.

\(f(x)=\ 2^x \ +\ 1,5 \)

Observa que el punto A está ahora 1,5 unidades más arriba.

## ¡Para abajo!

Observa la gráfica de \(f(x)\ =\ 2^x \)

Como ves la gráfica pasa por el punto A (0,1).

Para que la gráfica baje 1 y pase por el origen de coordenadas debes restar 1.

\(f(x)=\ 2^x \ -\ 1 \)

## ¡A la derecha!

Observa la gráfica de \(f(x)\ =\ 2^x \)

Como ves la gráfica pasa por el punto A (0,1).

Tienes que restar 2 al exponente para que el punto A por el que pasa la gráfica

se mueva dos unidades a la derecha.

\(f(x)=\ 2^{x - 2} \)

Observa la gráfica.

Observa la tabla:

Da valores a la x en la función \( f(x) = 2^x\)

\(x\) | 0 | 1 | 2 | 3
\(f(x)\) | 1 | 2 | 4 | 8

Da valores a la x en la función \(f(x)=\ 2^{x - 2} \)

\(x\) | 2 | 3 | 4 | 5
\(f(x)\) | 1 | 2 | 4 | 8

Cuando comparas las celdas de las dos tablas

observas que para el mismo valor de \(f(x)\)

el valor de \(x\) es 2 unidades mayor.

Has conseguido mover la gráfica 2 unidades a la derecha.

## ¡A la izquierda!

Observa la gráfica de \(f(x)\ =\ 2^x \)

Como ves la gráfica pasa por el punto A (0,1).

Tienes que sumar 2 al exponente para que el punto A por el que pasa la gráfica

se mueva dos unidades a la izquierda.

\(f(x)=\ 2^{x + 2} \)

Observa la gráfica.

Observa la tabla.

Da valores a la x en la función \( f(x) = 2^x\)

\(x\) | 0 | 1 | 2 | 3
\(f(x)\) | 1 | 2 | 4 | 8

Da valores a la x en la función \(f(x)=\ 2^{x + 2} \)

\(x\) | -2 | -1 | 0 | 1
\(f(x)\) | 1 | 2 | 4 | 8

Cuando comparas las celdas de las dos tablas

observas que para el mismo valor de \(f(x)\)

el valor de \(x\) es 2 unidades menor.

Has conseguido mover la gráfica 2 unidades a la izquierda.

Definición

Espacio rectangular de una tabla que contiene un texto, un gráfico o un valor.

Ejemplo

Introduce los datos en las celdas correspondientes.

# 6. Exposabiduría

Mi queridísima Afunción. Ya ves que la función exponencial está en los lugares más insospechados que puedas imaginar.

Es tu momento. Te he transmitido toda mi sabiduría. Confío en que la tuya haya aumentado exponencialmente.

¡Demúestralo Afuncioncita!

# Opción A. Si la memoria no me falla...

# Pregunta

Para que la función \(f(x)=a^x\) sea creciente, ¿cómo ha de ser \(a\)?

# Respuestas

Opción 1

Tiene que ser mayor que 1.

Opción 2

Tiene que ser menor que 1 pero mayor que 0.

Opción 3

Tiene que ser menor que 1

# Retroalimentación

¡Bravo ahí! No podías haber empezado mejor.

¿Seguro? Te sugiero que con la calculadora calcules valores con \(a\) entre 0 y 1.

¡Ooooh! Ten en cuenta que a no puede ser negativo, por lo que esta respuesta seguro que no vale.

# Solución

1. Opción correcta (Retroalimentación)
2. Incorrecto (Retroalimentación)
3. Incorrecto (Retroalimentación)

# Pregunta

Para que la función \( f(x)=a^x\) sea decreciente , ¿cómo ha de ser \(a\)?

# Respuestas

Opción 1

Tiene que ser igual a 0.

Opción 2

La función \( f(x)=a^x \) es siempre creciente, da igual el valor de \(a\).

Opción 3

Tiene que ser mayor que 0 y menor que 1.

# Retroalimentación

Pero 0 elevado a cualquier número… ¿no será 0?

¡Cuidado! Piénsalo un poco mejor.

Elemental. Entre 0 y 1 la función es decreciente. ¡Eres un fenómeno!

# Solución

1. Incorrecto (Retroalimentación)
2. Incorrecto (Retroalimentación)
3. Opción correcta (Retroalimentación)

# Pregunta

El dominio de la función \(f(x)=a^x\) es:

# Respuestas

Opción 1

Los valores positivos de x.

Opción 2

El dominio está formado sólo por los valores pares de x, pero los valores impares la función no está definida.

Opción 3

El dominio es todo R.

# Retroalimentación

¿Pero qué tienes en contra de los valores negativos?

Si esto fuera cierto la función exponencial sería discontinua, pero sabemos que no lo es.

Pues claro que sí. ¡Fiera!

# Solución

1. Incorrecto (Retroalimentación)
2. Incorrecto (Retroalimentación)
3. Opción correcta (Retroalimentación)

# Pregunta

El recorrido de una función son los valores que toma la variable dependiente (\(y\)). En el caso de \(f(x)=a^x\) , ¿cuál es su recorrido?

# Respuestas

Opción 1

\((0,\ +\infty)\)

Opción 2

\((-\infty,\ +\infty)\)

Opción 3

No se puede determinar el recorrido de \(f(x)=a^x\), todo depende de la escala que usemos en los ejes de coordenadas.

# Retroalimentación

Lo tienes claro. Eres un artista de la función exponencial.

Incorrecto

Pero si \(a\) es siempre positivo, ¿tú crees que la \(y\) puede ser negativa?

# Solución

1. Opción correcta (Retroalimentación)
2. Incorrecto (Retroalimentación)
3. Incorrecto (Retroalimentación)

# Pregunta

La gráfica de la función \(f(x)=a^x\) siempre pasa por dos puntos, que son:

# Respuestas

Opción 1

(0,1) y (1, 0)

Opción 2

(0,1) y (1, a)

Opción 3

(1,0) y (a, 1)

# Retroalimentación

Si yo fuera tú… lo pensaría un poquito mejor.

Exponenciales a ti. Eres un matemático consumado.

¡Cuidado! Puede parecer correcta pero… quizás el orden de las coordenadas.

# Solución

1. Incorrecto (Retroalimentación)
2. Opción correcta (Retroalimentación)
3. Incorrecto (Retroalimentación)

# Pregunta

La función \( f(x)=a^x \), ¿tiene asíntotas?

# Respuestas

Opción 1

Por supuesto, el eje Y.

Opción 2

Evidentemente no tiene asíntotas, porque en Geogebra no aparece ninguna recta a la que la función \(f(x)=a^x\) se vaya aproximando cada vez más.

Opción 3

Está muy claro. Sólo tiene una asíntota que es el eje X.

# Retroalimentación

¡Uuuyyyy! ¿Estás seguro de lo que dices?

Échale un vistazo otra vez a Geogebra, ¿seguro que no hay asíntota?

Lo tienes controlado. No se pueden tener las ideas más claras.

# Solución

1. Incorrecto (Retroalimentación)
2. Incorrecto (Retroalimentación)
3. Opción correcta (Retroalimentación)

# Pregunta

Después de todo lo que hemos visto, creo que estarás de acuerdo en que podemos decir que eso o aquello crece exponencialmente. Pero, realmente, ¿qué quiere decir eso?

# Respuestas

Opción 1

Quiere decir que algo aumenta a gran velocidad (al igual que ocurre con los valores de la variable dependiente).

Opción 2

Es solamente un dicho, pero no tiene nada que ver con la función exponencial.

Opción 3

Quiere decir que esto o aquello va creciendo a un ritmo lento pero constante, al igual que la función exponencial.

# Retroalimentación

Sí, sí y sí. ¡Muy bien respondido!

¡Nooo! Deberías tener más fe en la sabiduría popular. Por algo se usa el dicho.

¿Mmmmm? Fíjate en la gráfica de la función exponencial. Puede parecer que crece despacio al principio pero…

# Solución

1. Opción correcta (Retroalimentación)
2. Incorrecto (Retroalimentación)
3. Incorrecto (Retroalimentación)

# Pregunta

Para finalizar. Si decimos que algo crece exponencialmente, ¿podemos decir que algo decrece exponencialmente?

# Respuestas

Opción 1

Obviamente no. No hay ningún dicho popular que lo corrobore.

Opción 2

Por supuesto que podemos decirlo. Es el caso de que \( a\) esté entre 0 y 1. Además ocurre en sucesos de la Naturaleza.

Opción 3

Por supuesto que podemos decirlo. Es el caso de que \(a\) esté entre 0 y 1. Lo que ocurre es que esto sólo sucede en la teoría, pero no en ningún fenómeno de la Naturaleza.

# Retroalimentación

Incorrecto. Ten en cuenta que los dichos populares no tienen porqué recogerlo todo.

Obviamente lo tienes muy claro. ¡Máquina!

¿Cómo que no? Busca un poquito por Internet y verás que la Naturaleza es sabia: ella también gusta función exponencial.

# Solución

1. Incorrecto (Retroalimentación)
2. Opción correcta (Retroalimentación)
3. Incorrecto (Retroalimentación)

# Opción B. Mi lógica crece exponencialmente

Asocia cada gráfica con su fórmula:

a. \(f(x)=4^x\)

b. \( y = 2,5^x\)

c. \(y=0,4^x\)

d. \(f(x)=\Large \left ( \frac {2}{5} \right ) ^x \)

e. \(f(x)=\Large \left ( \frac {5}{2} \right ) ^x \)

f. \(f(x)=\Large \left ( \frac {1}{4} \right ) ^x \)

Gráfica I

Gráfica III

Gráfica II

Gráfica IV:

## Comprueba tus respuestas

a III b II c I

d I e II f IV

# Opción C. Exponencialmente creativo

Es hora de demostrar tu destreza con el lápiz y el papel. Realiza la gráfica de estas funciones en tu cuaderno.

a. \(y=1,6^x\)

b. \(y=0,625^x\)

Consejos:

1.- Crea una tabla de valores para darle valores a \(x\) y calcular el valor de \(y\). Podría ser algo así.

Si tenemos que representar \( f(x)=3^x\)

\(x\) | 0 | 1 | 2 | -1 | -2
\(f(x) = y\) | 1 | 3 | 9 | \(\frac{1}{3}\) | \(\frac{1}{9}\)

2.- Da tantos valores a x como sea necesario para que la curva tome la forma más real posible.

3.- Elige la escala adecuada en tu cuaderno para que quepan las gráficas.

4.- Intenta aprovechar tus conocimientos para para ahorrarte trabajo a la hora de completar las tablas.

Una vez hayas terminado, puedes comprobar tu trabajo haciendo la gráfica en Geogebra: GeoGebra Clásico

# Opción D. No importa a dónde vayas. Te tengo controlado

Afunción, en esta actividad debes tener muy claro cómo y qué hay que añadir a cada función exponencial para que se mueva a dónde tú quieres.

Presta mucha atención porque seguro que esto te será de mucha utilidad para enlazar los distintos tramos que diseñes para la Mathematical Sports Challenge.

Te voy a dar una función exponencial y dos puntos para que en Geogebra tengas que resolver las traslaciones pedidas en cada uno de ellos.

Observa este ejemplo para saber exactamente qué se te pide en esta actividad.

1.- En Geogebra tecleas en la barra de la izquierda la fórmula de la función y los dos puntos A y B que yo te doy. Es decir, esto:

2.- Como puedes ver en la imagen tenemos la gráfica de una exponencial que pasa por B.

3.- Pues bien, lo que tienes que hacer es que el punto B coincida con el A (es decir, en este caso queremos que la gráfica se traslade verticalmente 2 unidades).

4.- En la línea en la que hemos introducido la función debes sumar, restar donde y lo que corresponda para conseguir que el punto B coincida con el A.

5.- Yo lo he conseguido Afunción y debe quedar así.

¿No ves el punto A?

Claro que no Afunción, está debajo del B, ¿no era lo que queríamos? ¡COINCIDEN!

Aquí tienes las funciones y los puntos a introducir en GeoGebra Clásico

\( \begin{aligned} &a. f(x)=1,5^x \quad &Puntos\ A\ (0,1)\ y\ B\ (4,1) \\ &b. f(x)=\left (\frac{1}{2} \right )^x \quad & Puntos\ A\ (-1,2)\ y\ B\ (-1,-1) \\ &c. f(x)=3^x \quad &Puntos\ A\ (2,1)\ y\ B\ (0,1) \\ &d. f(x)=\left (\frac{3}{4} \right )^{x-5} \quad &Puntos\ A\ (0 , 4.21)\ y\ B\ (0,10) \\ &e. f(x)=3^x \quad &Puntos\ A\ (0.63 , 2)\ y\ B\ (4,4) \\ &f. f(x)=\left (\frac{1}{4} \right )^x \quad &Puntos\ A\ (-1 , 3.99)\ y\ B\ (-1.64 , -1.96) \end{aligned} \)

# Opción E. Y elimino exponencialmente

¿Qué te pasa Afunción? ¿Que te duele la cabeza de tanta función? Cualquiera lo diría teniendo ese nombre.

Tómate esta pastilla que te quitará ese dolor.

Por cierto, Afunción, me viene muy bien tu dolor de cabeza porque… ¿sabías que los efectos de un medicamento van desapareciendo con el efecto de las horas y que ese proceso se decribe con una función exponencial? Una como esta:

f(x)=K\cdot a^x

Su efecto se va perdiendo porque eliminamos el medicamento a través de la orina.

Pero antes de seguir, deberías ver este breve pero muy interesante vídeo. En el aprenderás cómo un fármaco actúa en tu cuerpo y cómo se elimina.

Si no se te da muy bien el inglés, puedes ver este otro:

¿Cómo funcionan los medicamentos?

Acceso Visual. Proceso medicamento en el cuerpo humano

Pero, ¿qué representa cada letra?

- \( x\) representa el número de horas que han pasado desde que tomaste el medicamento.
- \( f(x)\) es la cantidad de medicamento en miligramos que queda en el cuerpo transcurridas \(x\) horas.
- \(k\) es la cantidad de medicamento que se ha tomado expresado en miligramos.
- \(a\) es un coeficiente que indica la cantidad de medicamento que queda en el cuerpo después de transcurrida una hora.

Por ejemplo si hubiéramos tomado 10 mg (k) de medicamento y cada hora nuestro cuerpo elimina el 20% del medicamento (quedará un 80% del restante), la fórmula queda así:

f(x)=10\cdot 0,8^x

Ahora que sabes todo esto, usando esta app de Geogebra, resuelve en la gráfica las siguientes cuestiones:

a. Calcula la cantidad de medicamento que quedará en tu cuerpo cuando han transcurrido 2,5 horas y 6 horas.

b. ¿A qué hora quedarán en tu organismo 0,2 mg de medicamento si lo tomaste a las 8:00 a.m.? (Nota: observa que se pide la hora, no las horas que han de transcurrir).

## Soluciones

Solución apartado a: A las 2,5 horas quedarán, aproximadamente, en tu cuerpo 5,7 mg de medicamento. A las 6 horas quedarán, aproximadamente, 2,6 mg de medicamento.

Solución apartado b: como lo tomaste a las 8:00, la hora a la que quedan 0,2 mg es: 1:30 de la madrugada aproximadamente.

# 5. Un baño de realidad

Afunción lo está entendiendo todo. Al final parece que esto de las mates no es para tanto.

No obstante, acostumbrada a lo práctico, muestra su escepticismo en la utilidad que puedan tener las funciones exponenciales

Para demostrarle cuán equivocada está Recto Parábola lleva a Afunción a ver el Museo de las Ciencias de Granada. Asegura que no hay mejor sitio que este para estudiar Matemáticas.

Afunción no entiende nada. Allí se encuentran con una exposición sobre radiactividad que a Afunción le parece un aburrimiento ¿Pasar de largo? Nada de eso, ¿aparecerá aquí la función exponencial?

Verás que está mucho más cerca de lo que te imaginas.

Es posible que alguna vez hayas oído que en el Palomares (Almería) en el año 1966 cayeron 4 bombas termonucleares (debido a la colisión de 2 aviones de EE.UU.). A causa del impacto el material radiactivo se dispersó por la zona.

Una de las bombas cayó al mar. Se tardaron semanas en dar con ella y su recuperación no fue nada fácil. Puedes ver un esquema en el dibujo.

Aunque se procedió a su limpieza, esta nunca llegó a concluirse. Hoy día todavía queda material radiactivo en la región. Deberías ver este breve vídeo para tener del todo claro qué ocurrió.

Por cierto, y antes de pasar al punto siguiente, ¿sabías que fue una mujer la que descubrió la radiactividad?, no te pierdas este pequeño tráiler:

Madame Curie

Pues bien, aquí también encuentras a la función exponencial.

La fórmula \( C(x)\ =\ C_0 \cdot \ 2^{-t/n} \) determina la cantidad de material radiactivo que queda tras un tiempo determinado. En concreto:

- \( t\) es el tiempo que ha pasado desde que el material radiactivo contaminó la zona.

- \( C(x) \) es la cantidad de material radiactivo que queda tras un tiempo \(t\).

- \( C_0 \) es la cantidad de material radiactivo que había al principio.

- \( n \) es el período de semidesintegración del material radiactivo (en el caso que nos ocupa el material radiactivo es plutonio-239 y su período de semidesintegración es de 24110 años.

Pues bien, sabiendo que en Palomares se estima que después de la limpieza de los estadounidenses (en 1966) quedaron aún sobre el terreno 3 kg. de plutonio-239… mi querida Afunción, ¿no tienes curiosidad por saber?

1. ¿Cuál es la cantidad de plutonio-239 que quedaba en el año 2021 teniendo en cuenta que la limpieza terminó en 1966)? ¿y la que quedará cuando pasen 100 años en la zona contaminada?
2. ¿Qué tiempo ha de transcurrir para que queden solamente 2 kg de plutonio-239?

Te animo a que digas unas respuestas al azar. Una vez hecho pulsa en el botón solución. ¡Te sorprenderás!

Definición

Duda o falta de confianza en la verdad de una cosa.

Ejemplo

Algunas personas muestran su escepticismo en la utilidad de las funciones exponenciales.

Definición

Proceso por el que un núcleo atómico inestable pierde energía y emite radiación.

Ejemplo

La radiactividad artificial se utiliza en medicina nuclear.

Definición

Bomba termonuclear o bomba de hidrógeno se basa en la obtención de la energía desprendida al fusionarse dos núcleos atómicos.

Ejemplo

Actualmente hay nueve países que tienen bombas termonucleares.

## Lectura facilitada

Rectoparábolo y Afunción visitan el Museo de las Ciencias de Granada.

Rectoparábolo y Afunción se encuentran con una exposición sobre radiactividad.

Palomares es una localidad de la provincia de Almería.

En el año 1966 cayeron 4 bombas termonucleares en Palomares.

El material radiactivo se dispersó por la zona.

Una de las bombas cayó al mar.

Tardaron semanas en recuperar la bomba termonuclear.

Puedes ver un esquema en el dibujo.

Hoy día todavía queda material radiactivo en la región.

Mira este breve vídeo para conocer todo lo que ocurrió.

¿Sabías que fue una mujer la que descubrió la radiactividad?

Mira el siguiente video.

Madame Curie

Aquí también encuentras a la función exponencial.

La fórmula \( C(x)\ =\ C_0 \cdot \ 2^{-t/n} \) determina la cantidad de material radiactivo que

queda tras un tiempo determinado.

En concreto:

- \( t\) es el tiempo que ha pasado desde que el material radiactivo contaminó la zona.
- \( C(x) \) es la cantidad de material radiactivo que queda tras un tiempo \(t\).
- \( C_0 \) es la cantidad de material radiactivo que había al principio.
- \( n \) es el período de semidesintegración del material radiactivo
- El periodo de semidesintegración del plutonio-239 es de 24.000 años.
- 24.000 años, veinticuatro mil años.

En Palomares después de la limpieza en el año 1966

quedaron sobre el terreno 3 kilogramos de plutonio-239.

¿Tienes curiosidad por saber?

1. ¿Cuál es la cantidad de plutonio-239 que quedaba en el año 2021?
2. ¿Qué cantidad de plutonio-239 quedará en la zona contaminada
   cuando pasen 100 años?
3. ¿Qué tiempo debe pasar para que queden 2 kilogramos de plutonio-239?

Te animo a que digas unas respuestas al azar.

Una vez hecho pulsa en el botón solución.

Definición

Proceso por el que un núcleo atómico inestable pierde energía y emite radiación.

Ejemplo

La radiactividad artificial se utiliza en medicina nuclear.

Definición

Bomba termonuclear o bomba de hidrógeno se basa en la obtención de la energía desprendida al fusionarse dos núcleos atómicos.

Ejemplo

Actualmente hay nueve países que tienen bombas termonucleares.

## Solución

Solución apartado 1. En el año 2021 quedaban sobre el terreno 2,995 kg de plutonio-239 radiactivo.

Dentro de 100 años (contando desde 1966) quedarán aproximadamente 2,991 kg de plutonio-239 radiactivo.

OBSERVACIÓN: Fíjate en que, por las cifras obtenidas, la cantidad de plutonio-239 sólo ha reducido en 9 gramos en 100 años ¿te haces ahora una idea del peligro de las pérdidas de material radiactivo?

Solución apartado 2. Son necesarios 14.103 años aproximadamente para que la cantidad de plutonio-239 quede reducido a 2 kg.

Si quieres saber más puedes ver cómo se hacen estos cálculos en el siguiente vídeo

## Clavis dice... ¿Has sabido hacer las actividades propuestas?

¿Te han resultado difíciles las tareas? Relájate cuando sientas nervios y confía en tus posibilidades. ¡Eres capaz de hacer todo lo que te propongas!

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