# 3. Calentamiento

## Diccionario

## Incrementamos

Definición

  Añadir algo a una cantidad

Ejemplo

  Incrementamos el valor del parámetro A.

## Parábola

Definición

  Representación gráfica de una ecuación de segundo grado.

Ejemplo

  La parábola tiene un solo punto de corte.

## Puntos de corte

Definición

  Lugar donde se cortan dos elementos matemáticos.

Ejemplo

  Señala en la gráfica los puntos de corte.

## Vértice

Definición

  Punto donde la parábola alcanza su menor valor o su mayor valor.

Ejemplo

  Calcula el vértice de esta parábola.

Ya están en Sierra Nevada. ¿Pero a dónde va Afunción? Nada de relax. Esto acaba de comenzar. Rectoparábolo tiene un buen abanico de retos para resolver. ¡¡Agárrate que vienen curvas!!

Pero no conocemos muchas curvas, vamos a recordarlas...

## Lectura facilitada

Rectoparábolo y Afunción han llegado a Sierra Nevada.

Rectoparábolo tiene varios retos para resolver.

Estos retos ayudarán a diseñar los recorridos de la competición.

Vas a recordar las gráficas de curvas.

## Apoyo visual

# 3.1. Como una bala de cañón

No todos los movimientos o figuras que tenemos a nuestro alrededor están formados por rectas o trozos de recta. Piensa, por ejemplo, en la trayectoria que sigue el balón lanzado por un futbolista desde el centro del campo, o en la trayectoria que sigue una bala de cañón desde que se lanza hasta que alcanza su objetivo.

Estos que te acabamos de decir son dos ejemplos de una curva muy importante que se llama parábola.

La parábola más sencilla que podemos encontrar en Matemáticas es la que tiene expresión analítica y = x^2 . A partir de ellas se pueden hacer transformaciones multiplicando el x^2 por un número a (y = ax^2), sumando un número c a x^2 (y = x^2 + c) , o restando b a x antes de elevar al cuadrado (y = (x - b)^2).

En el siguiente enlace de Geogebra, puedes probar a hacer cada una de estas tres cosas, e incluso hacerlas todas a la vez. Pruébalo y luego responde a las preguntas de más abajo:

Transforma la parábola y = x^2 con Geogebra

En las parábolas de la forma y = x^2, si a>0, la parábola está dirigida hacia Rellenar huecos (1):JXUwMDM5JXUwMDEzJXUwMDAwJXUwMDFiJXUwMDBiJXUwMDAz , y si a<0, la parábola está dirigida hacia Rellenar huecos (2):JXUwMDM5JXUwMDAzJXUwMDAzJXUwMDBiJXUwMDA1 . Además, si nos olvidamos del signo, conforme mayor es a, la parábola es más Rellenar huecos (3):JXUwMDI0JXUwMDFmJXUwMDA2JXUwMDE3JXUwMDAwJXUwMDEzJXUwMDA1JXUwMDA1JXUwMDFkJXUw MDE5JXUwMDE2JXUwMDA3JXUwMDA2JXUwMDE3JXUwMDA2JXUwMDBiJXUwMDA5JXUwMDFk , y conforme a es más cercano a cero, la parábola es más Rellenar huecos (4):JXUwMDI0JXUwMDFkJXUwMDAzJXUwMDBiJXUwMDBjJXUwMDE3JXUwMDA2JXUwMDE1JXUwMDFkJXUw MDFkJXUwMDBmJXUwMDBkJXUwMDBiJXUwMDA5JXUwMDFk

En las parábolas de la forma y = x^2 + c, se desplaza la parábola y = x^2 c unidades hacia Rellenar huecos (5):JXUwMDM5JXUwMDEzJXUwMDAwJXUwMDFiJXUwMDBiJXUwMDAz . En caso de que c sea negativo, el desplazamiento es hacia Rellenar huecos (6):JXUwMDM5JXUwMDAzJXUwMDAzJXUwMDBiJXUwMDA1 .

En las parábolas de la forma y = (x-b)^2 + c, se desplaza la parábola b unidades hacia Rellenar huecos (7):JXUwMDM0JXUwMDBkJXUwMDQxJXUwMDQ0JXUwMDAxJXUwMDE3JXUwMDE3JXUwMDA2JXUwMDBiJXUw MDA5 . En caso de que b sea negativo (por ejemplo y = (x+3)^2), el desplazamiento es de b unidades hacia Rellenar huecos (8):JXUwMDM0JXUwMDBkJXUwMDQxJXUwMDQ5JXUwMDEzJXUwMDBiJXUwMDA0JXUwMDFjJXUwMDBjJXUw MDE3JXUwMDE2JXUwMDA1 (en el ejemplo sería 3 unidades hacia Rellenar huecos (9):JXUwMDM0JXUwMDBkJXUwMDQxJXUwMDQ5JXUwMDEzJXUwMDBiJXUwMDA0JXUwMDFjJXUwMDBjJXUw MDE3JXUwMDE2JXUwMDA1 ).

Habilitar JavaScript

# 3.2. Paraboleamos

Vamos ahora a trabajar en grupo utilizando el siguiente GeoGebra. En él encontrarás varios deslizadores con los qué irás definiendo distintas parábolas. También hay botones para encontrar información sobre los elementos característicos de una parábola: vértice y puntos de corte.

Definición

Representación gráfica de una ecuación de segundo grado.

Ejemplo

La parábola tiene un solo punto de corte.

Definición

Lugar donde se cortan dos elementos matemáticos.

Ejemplo

Señala en la gráfica los puntos de corte.

Definición

Punto donde la parábola alcanza su menor valor o su mayor valor.

Ejemplo

Calcula el vértice de esta parábola.

Modifica los deslizadores y describe cómo se modifican los puntos características de la parábola, en cada uno de los siguientes casos.

1) Incrementamos el valor del parámetro a

2) Si cambiamos de signo el parámetro a

3) Si aumentamos el valor del parámetro b

4) Si aumentamos el valor del parámetro c

5) ¿Qué pasa si el parámetro a=0?

6) ¿Qué condición deben cumplir los parámetros de la parábola para que corte al eje de abcisa (x)?

Completa la siguiente ficha para realizar la actividad

Definición

Añadir algo a una cantidad

Ejemplo

Incrementamos el valor del parámetro A.

## Lumen dice... Necesito ayuda

Completa la siguente tabla para resolver la actividad

| Cómo se modifica el vértice | Cómo se modifica el punto de corte con el eje de ordenada | Cómo se modifica el punto de corte con el eje de abcisa
1) Incrementamos el valor del parámetro a | Qué observamos | Qué observamos | Qué observamos
2) Si cambiamos de signo el parámetro a |  |  |
3) Si aumentamos el valor del parámetro b |  |  |
4) Si aumentamos el valor del parámetro c |  |  |
5) Qué pasa si el parámetro a=0 |  |  |
6) Qué condición deben cumplir los parámetros de la parábola para que corte al eje de abcisa (x) |  |  |

Al aumentar el valor de a, la componente x del vertice se hace más pequeña en valor absoluto, mientras que la componente y aumenta su valor

El punto de corte en la ordenada, no se modifica al cambiar el valor de a

Al aumentar el valor de a, los puntos de corte con el eje X se van acercando, hasta que sólo queda un punto de corte, el vértice. A partir de ese valor al aumentar a, ya no hay puntos de corte, dado qué el vértice se situa por encima del eje.

# 3.3. Buscamos parábolas

Continuamos nuestro trabajo en grupo. Y ahora nos toca reflexionar sobre la realidad.

En muchas ocasiones observamos curvas y pensamos qué se ajustan muy bien a funciones conocidas, pero.. ¿es esto así?

Para comprobarlo, utiliza el geogebra que tienes abajo con los dos ejemplos que te doy a continuación.

## Skate

Aparentemente, el skate parece ajustarse a una parábola. ¿Existe alguna parábola qué se ajuste a esta forma?

Qué ocurre si utilizamos la cúpula del fondo. ¿Puede ajustarse a una parábola?

## Mulhacén

Normalmente, cuando miramos una montaña parece tener forma de parábola. Vamos a comprobarlo con el Mulhacén. ¿Se ajusta a una parábola?

# 3.4. Basket de funciones

Aún quedan unos días para la competición. Afunción y Rectoparábolo tienen que acelerar y aprovechar bien el tiempo.

Rectoparábolo le dice a Afunción que se ponga la ropa de deporte porque van a la pista de baloncesto a aprender matemáticas.

¡Empezamos con las excentricidades!

¡Es la hora de tu mini reto!

Observa el esquema

Lo que le pide Rectoparábolo a Afunción y las instrucciones que le da son las siguientes:

1. 1. Te voy a hacer un pase picado con el balón de baloncesto.

   2. Tú recoges la pelota y sin moverte del sitio…

   3. Tiras a canasta. ¿Se te ocurre cómo podríamos representar esta jugada con funciones?

   4. Fíjate en el esquema: localiza los ejes de coordenadas X e Y, así como los puntos A, B, C, D, E y F.

   5. ¿Cómo podrías relacionar la información del apartado anterior con las funciones que necesitas? Toma las coordenadas de los puntos respecto a los ejes de coordenadas. Por si tienes dudas ten en cuenta que:

      1. El punto A es aquel desde el que te hago el pase.

      2. El punto B es el lugar donde la pelota toca el suelo.

      3. El punto C es el punto donde recoges el pase.

      4. El punto D es la posición en la que se encuentra el balón cuando tiras a canasta.

      5. El punto E es el centro del aro, lugar por el que tiene que pasar tu tiro, es decir, tiene que entrar limpia.

         ¡Tiene que sonar chooff!

      6. El punto F es donde cae el balón tras pasar por el aro.

   6. Une los puntos anteriores con un lápiz, ¿qué funciones aparecen?

   7. PISTA: Piensa en las funciones que ya conoces y que hemos repasado en las páginas anteriores. ¿Se puede utilizar solamente un único tipo de función siempre? ¿Qué tipo de funciones crees que tienes que utilizar? ¿Cómo piensas que pueden combinarse?

   8. Organiza tu trabajo: Con las coordenadas de los puntos establecidas en el punto 5, escribe las expresiones analíticas de las funciones que aparecen al dar el pase picado y al tirar a canasta. Una vez hayáis escrito las expresiones analíticas, debéis dibujar en vuestro cuaderno las gráficas de las mismas.

## Edición de vídeo

La tecnología nos ofrece la oportunidad de estudiar nuestra técnica de tiro a canasta. Esto es algo que utilizan a menudo los deportistas de élite. ¿Por qué no hacerlo nosotros?

Vamos a hacer la gráfica de un tiro a canasta usando edición de vídeo y Geogebra.

- Para realizar la gráfica de las funciones puedes ayudarte de este vídeo, en el que se utiliza el software VLC para capturar imágenes del vídeo que crees y le sigue una app de Geogebra.

## App de Geogebra

Este es el Geogebra que te va a ayudar a ver cuál es el resultado que tienes que obtener.

Autoría: Débora Pereiro

#### Pasos:

1. Descarga el vídeo de más arriba (pulsando los tres puntitos de abajo a la derecha y seleccionando la opción "Descargar")
2. Captura varias imágenes del vídeo (al menos cinco)
3. GeoGebra
   - Insertar las imágenes en GeoGebra (superpuestas)
   - Identificar 5 puntos de la trayectoria de la pelota
   - Determinar la función polinómica que pasa por los tres puntos: Polinomio({A,B,C})

#### Preguntas

1. Altura del aro de la canasta
2. Altura de la pelota justo antes del tiro a canasta
3. Distancia de tiro (del deportista a la vertical al aro de la canasta
4. Altura máxima que alcanza la pelota
5. Si la pelota siguiese su trayectoria parabólica ¿a que distancia del deportista daría el primer rebote?

## Clavis dice... Reviso mi trabajo terminado

¡Enhorabuena! Has terminado tu trabajo.

Ahora hay que revisar todos los pasos que has dado, para ello:

1. Revisa si los resultados son correctos.
2. Analiza la presentación.
3. Comprueba tus respuestas.

Página 4 de 8

Obra publicada con Licencia Creative Commons Reconocimiento No comercial Compartir igual 4.0

Creado con eXeLearning (Ventana nueva)