Suma y resta de fracciones algebraicas
CON IGUAL DENOMINADOR
La suma de fracciones algebraicas con el mismo denominador es otra fracción algebraica con el mismo denominador y cuyo numerador es la suma de los numeradores.
Ejemplo
Sumar las fracciones algebraicas:
CON DISTINTO DENOMINADOR
Si las fracciones tienen distinto denominador en primer lugar se ponen las fracciones algebraicas a común denominador, posteriormente se suman los numeradores.
Para poner un común denominador lo primero que hago es descomponer (si se puede) en factores cada uno de los polinomios.
De la descomposición factorial cojo lo factores comunes y no comunes de mayor exponente.
Ejemplo
Sumar las fracciones algebraicas:
CASOS DE ESTUDIO DE FACTOR COMÚN
A continuación os pongo unos ejemplos, vistos en clase, de diferentes casos que podemos tener cuando vamos a obtener el común denominador en una suma o resta de expresiones algebraicas.
En los ejemplos mostrados solo se muestra la primera parte del ejercicio ya que, como todos sabéis, posteriormente habría que realizar todas las operaciones hasta obtener en el numerador y en el denominador el polinomio final.
Otra simplificación que se ha introducido en los casos anteriores es poner en los numeradores siempre 1. En caso de tener polinomios en el numerador se haría del mismo modo.
CASO 1
En el denominador de la primera fracción no puedo hacer nada.
Denominador de la segunda fracción: es suma por diferencia (identidad notable). La expreso como suma por diferencia.
De todos los factores que tengo cojo los factores comunes y no comunes de mayor exponente.
CASO 2
En este caso no puedo hacer nada ni en el denominador de la primera ni en el denominador de la segunda ya que son dos binomios. Por lo tanto el factor común a las dos será el formado por ambos binomios (factores comunes y no comunes de mayor exponente).
CASO 3
En la primera fracción aparece en el denominador una suma por diferencia expresada como producto de binomios y en la segunda ecuación tenemos la misma situación que la del caso 1.
Estamos en un caso de suma de fracciones con el mismo denominador por lo que, como sucedía con las fracciones numéricas, ponemos el mismo denominador y sumamos los numeradores.
CASO 4
El denominador de la primera fracción se queda como está. Se trata de un binomio.
En la segunda fracción el denominador está formado por un polinomio de segundo grado. Tengo que factorizar ese polinomio. Para ello resuelvo la ecuación de segundo grado (obtengo sus raíces):
Una vez obtenga las raíces, en nuestro caso eran: +2 y -1, expreso el polinomio en forma de factores: (x-2) (x+1)
El denominador de la fracción resultado será, como en los casos anteriores, el compuesto por todos los factores comunes y no comunes de mayor exponente.
CASO 5
Analizo las dos fracciones. En el numerador de la segunda puedo sacar factor común y de esta forma me queda expresada del modo: x (x-2)
En el segundo denominador no puedo hacer nada.
El denominador común es el compuesto por todos los factores comunes y no comunes de mayor exponente: x (x-2)
CASO 6
En la primera fracción no puedo hacer nada.
En la segunda fracción el denominador es una ecuación de tercer grado. Tengo que descomponerla en factores. Para ello usado Ruffini obtengo una de las raíces:
Una vez que obtenga una de las raíces el polinomio queda expresado de la siguiente forma:
A continuación resuelvo la ecuación de segundo grado:
La descomposición factorial del polinomio queda finalmente así:
El denominador común es el compuesto por todos los factores comunes y no comunes de mayor exponente:
CASO 7
Este caso y el anterior son iguales. La única diferencia es que el denominador de la primera fracción es diferente y formaría parte del común denominador
CASO 8
Este caso sería igual que el caso 4 con la única salvedad que las raíces del polinomio de segundo grado salen fraccionarias.