4.2. Elementos notables de un triángulo

Rétor dice...

Continuamos visitando ahora los lugares geométricos de los triángulos,

puntos y rectas que nos ayudarán a completar todo lo necesario para elaborar la Guía Turística Matemática.

Seguro que te sorprenden todos los secretos que ocultan los triángulos.

¿Seguimos con nuestro paseo?

Lumen dice Antes de empezar, recuerda...

Muchas veces definimos una figura geométrica por medio de una imagen, un dibujo.

En Matemáticas ampliamos la idea y también nos referimos a un conjunto de todos los puntos del plano que cumplen una condición y que solamente ellos la cumplen. Decimos entonces que es un lugar geométrico del plano.

Un ejemplo muy importante es la circunferencia. Se define como el lugar geométrico de los puntos del plano cuya distancia a un punto fijo (el centro) es una cantidad constante (el radio).

En la figura siguiente, los puntos P y Q equidistan del centro, como los infinitos puntos que componen la circunferencia.

Lugares geométricos circunferencia y mediatriz


Por otro lado, las rectas son también lugares geométricos. Por ejemplo, la mediatriz del segmento AB de la figura está constituida por todos los puntos que equidistan de los extremos A y B, como M y N, por ejemplo: MA = MB; NA = NB.

En cualquier triángulo podemos encontrar ciertos lugares geométricos, unas rectas muy importantes. Tanto, que se denominan "notables": las medianas, las mediatrices, las alturas y las bisectrices.

Van siempre en grupos de tres, puesto que tres son los lados y tres los ángulos de un triángulo.

Lectura facilitada

Antes de empezar, recuerda...

Muchas veces definimos una figura geométrica

 por medio de una imagen, 

por un dibujo.


En Matemáticas ampliamos la idea .

También nos referimos a un conjunto de todos los puntos del plano 

que cumplen una condición y que solamente ellos la cumplen.

 Decimos entonces que es un lugar geométrico del plano.


Un ejemplo muy importante es la circunferencia. 

Se define como el lugar geométrico de los puntos del plano 

cuya distancia a un punto fijo (el centro)

es una cantidad constante (el radio).


En la figura siguiente, los puntos P y Q equidistan del centro, 

como los infinitos puntos que componen la circunferencia.

Lugares geométricos circunferencia y mediatriz

Lugares geométricos circunferencia y mediatriz.

Por otro lado, las rectas son también lugares geométricos.

Por ejemplo, la mediatriz del segmento AB de la figura está constituida por todos los puntos que equidistan de los extremos A y B,

como M y N, por ejemplo: MA = MB; NA = NB.

En cualquier triángulo podemos encontrar ciertos lugares geométricos, unas rectas muy importantes.

Tanto, que se denominan "notables": las medianas, las mediatrices, las alturas y las bisectrices.

Van siempre en grupos de tres, puesto que tres son los lados y tres los ángulos de un triángulo.

1. Rectas y puntos notables de un triángulo

Medianas. Baricentro.

Las medianas de un triángulo de vértices A, B y C son las rectas que pasan por un vértice y por el punto medio del lado opuesto.
Para trazarlas, es preciso situar primero el punto medio de cada lado del triángulo. 

Observa en la figura los puntos D, E, F.

Puntos medios y medianas del triángulo ABC

Nuestras tres medianas son las rectas que pasan: la primera, por A y F; la siguiente, por B y E; la última, por C y D.

En nuestra figura, sólo son visibles, en rojo, los segmentos de mediana que ocupan el interior del triángulo.

Las tres medianas de cualquier triángulo se cortan en un punto denominado baricentro.

Animación de las medianas y el baricentro

En la animación se aprecia que, aunque cambie el tipo de triángulo,

el baricentro G siempre es común a las tres medianas y siempre es un punto interior del triángulo.

Puedes comprobar una propiedad geométrica:

La distancia desde el baricentro a cada vértice es el doble de su distancia al punto medio del lado opuesto correspondiente

\(\textsf{AG}=2\cdot\textsf{GF}, \hspace{2mm} \textsf{BG}=2\cdot\textsf{GE}, \hspace{2mm} \textsf{CG}=2\cdot\textsf{GD}\)

Por último, el baricentro de un triángulo coincide con su centro de gravedad.

Puedes dibujar un triángulo cualquiera en cartón, plástico o madera de balsa y recortarlo.

Luego, localizas su baricentro de la manera que has aprendido y atas un hilo en ese punto.

Si ahora lo sujetas del otro extremo en alto y esperas a que deje de moverse, el triángulo estará en equilibrio, en posición completamente horizontal.

Mediatrices. Circuncentro.

Como recordarás, la mediatriz de un segmento es la recta que lo corta perpendicularmente por su punto medio.

En la figura vemos otra vez el triángulo ABC y los puntos medios de sus lados.

Se han trazado en color fucsia las tres mediatrices de los lados, que son rectas perpendiculares a cada lado

y que los cortan por cada uno de sus puntos medios. 

La mediatriz del lado AC del triángulo ABC

En concreto, la mediatriz \(m_{AC}\) es perpendicular al lado AC por su punto medio, E.

Todos los infinitos puntos de esa recta están a la misma distancia (equidistan) de A y C.

Es curioso observar que esas tres mediatrices se cortan en un punto: se denomina circuncentro.

Mediatrices y circuncentro de un triángulo isósceles

La figura muestra las mediatrices y el circuncentro de un nuevo triángulo (que es isósceles),

con el mismo lado AC que el anterior, pero en el que se ha desplazado el vértice B.

Lógicamente, el circuncentro cambia de posición, pero sigue siendo el punto donde se cortan las tres mediatrices.

Ese punto tan especial va a ser el protagonista de una de las páginas de nuestra Guía.

En efecto, la distancia que existe entre el circuncentro y cada uno de los tres  vértices es la misma.

El circuncentro "equidista" de los tres vértices del triángulo.

Decimos en Geometría que es el centro de la circunferencia circunscrita, la que pasa por los tres vértices.

Las mediatrices y la circunferencia circunscrita

Como vemos, el circuncentro se sitúa en este caso en el exterior del triángulo. 

La estudiaremos en las actividades.

Alturas. Ortocentro. 

Una altura de un triángulo es una recta que pasa por un vértice y es perpendicular al lado opuesto.
Nada se dice acerca del punto del lado opuesto por donde corta, salvo que se denomina "pie" de la altura.

Como es lógico, no es única: se pueden trazar tres alturas en cualquier triángulo.

Es conveniente aclarar que el término "altura" que recuerdas de los años anteriores (en la fórmula del área de un triángulo, por ejemplo)

indica la "longitud del segmento altura", que no es más que una parte de la recta que estamos estudiando aquí.

Las alturas del triángulo ABC

En la figura se ha resaltado el segmento altura BH, correspondiente a la recta del vértice B,

con la idea de distinguirlo de la recta altura \(h_B\).

El punto H es el pie de la altura correspondiente a B.

Las tres alturas de todo triángulo se cortan en un punto notable llamado ortocentro, de gran importancia en Dibujo Técnico.

El ortocentro no tiene por qué encontrarse siempre dentro del triángulo,

igual que ocurría con el circuncentro (pero no con el baricentro).

En la figura vemos algunos tipos de triángulos y la situación del respectivo ortocentro.

Los 4 tipos de triángulos y su ortocentro

Además, el circuncentro y el ortocentro se localizan en puntos especiales para el caso de triángulos especiales.

Ello permite clasificar los triángulos según dónde estén estos puntos notables, como verás en las actividades.

Bisectrices. Incentro.

La última de las rectas notables del triángulo de las que hablaremos es la más desconocida en Matemáticas de Secundaria: la bisectriz de un ángulo. 
En un ángulo delimitado por sus dos rectas que se cortan en el vértice, la bisectriz es la recta cuyos puntos equidistan de las dos rectas.

La propiedad importante es que pasa por el vértice del ángulo y lo divide en dos regiones de la misma amplitud angular.

Triángulo con sus bisectrices

Las tres bisectrices de un triángulo se cortan en un punto interior, el denominado incentro.

Por equidistar de cada dos lados del triángulo, entonces ese punto equidista de los tres.

El incentro es también el centro de la circunferencia inscrita al triángulo,

que es la que toca en un punto a los tres lados, a la misma distancia.

Esa longitud es precisamente el radio de esta circunferencia.

El incentro del triángulo y la circunferencia inscrita

Imagina, por ejemplo, que los vértices del triángulo de la figura fuesen tres pueblos de la Sierra de Aracena y nos encontramos de acampada en IC.

Supongamos, además, que los lados del triángulo son carreteras más o menos rectilíneas.

En esas condiciones, los puntos I, J y K serían los más próximos por donde podríamos alcanzar un vehículo de ayuda.

Lugares geométricos. Ejemplos

Kardia dice Curiosidad matemática: La recta de Euler

Una vez que ya conoces los puntos notables del triángulo, te interesará saber que tres de ellos están siempre alineados. ¿Cuáles son?

Existe una recta que pasa por ellos tres: la recta de Euler. Incluso existe un tipo de triángulo muy especial en el que los cuatro puntos notables están alineados en esa recta.

La siguiente actividad Geogebra te permitirá mover los vértices de un triángulo para comprobar todo lo que te decimos. ¡Adelante!

2. Practicamos con los puntos notables y la recta de Euler

Trabaja con el siguiente geogebra y realiza la propuesta que se indica a continuación.

  • Indica qué puntos representan el ORTOCENTRO, el BARICENTRO, el CIRCUNCENTRO y el INCENTRO.
  • Mueve con el cursor los vértices del triángulo y observa las posiciones que van ocupando los cuatro puntos notables. ¿Ves los tres que están siempre alineados? ¿Cuáles son?
  • ¿Cuál es el punto notable que no siempre pertenece a esa recta?
  • ¿Cómo es el triángulo en el que el cuarto punto sí que está en la recta de Euler?

Responde a cada una de estas cuestiones en tu cuaderno.

CIRCUNCENTRO

Calcula el circuncentro del triángulo formado por los puntos A, B y C y la circunferencia circunscrita. Comprueba que dicha circunferencia pasa por todos los vértices del triángulo. Una vez terminado, haz un recorte de la imagen resultante y pégala en el documento que debes entregar en la tarea de Classroom.

https://www.geogebra.org/m/ks2tmsqg (Ventana nueva)

Miriam,https%3A//www.geogebra.org/m/ks2tmsqg,C%E1lculo%20del%20Circuncentro,1,Autor%EDa
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ORTOCENTRO

Calcula el ortocentro del triángulo formado por los puntos A, B y C. Comprueba que todas las alturas se cortan en el mismo punto. Una vez terminado, haz un recorte de la imagen resultante y pégala en el documento que debes entregar en la tarea de Classroom.

https://www.geogebra.org/m/sayyutyx (Ventana nueva)

Miriam,https%3A//www.geogebra.org/m/sayyutyx,C%E1lculo%20del%20Ortocentro,1,Autor%EDa
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BARICENTRO

Calcula el baricentro del triángulo formado por los puntos A, B y . Comprueba que las tres medianas se cortan en el baricentro. Una vez terminado, haz un recorte de la imagen resultante y pégala en el documento que debes entregar en la tarea de Classroom.

https://www.geogebra.org/m/tehawjk4 (Ventana nueva)

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INCENTRO

Calcula el incentro del triángulo formado por los puntos A, B y C y la circunferencia inscrita. Comprueba que dicha circunferencia es tangente a todos los lados del triángulo. Una vez terminado, haz un recorte de la imagen resultante y pégala en el documento que debes entregar en la tarea de Classroom.

https://www.geogebra.org/m/m2pvfqhv (Ventana nueva)

Miriam,https%3A//www.geogebra.org/m/m2pvfqhv,C%E1lculo%20del%20Incentro.,1,Autor%EDa
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3. Triangulemos

Rétor dice...

Seguro que no sabías que los triángulos escondían tantos secretos. Revelarlos ha sido crucial.

Ahora es el momento de comprobar qué lo has aprendido todo realizando la siguiente propuesta de ejercicios

A: Acertijos matemáticos

Lee los párrafos que aparecen a continuación y completa el hueco con los lugares geométicos a los que hacen referencia.

Clase de Karate

El primer día de clase, el maestro Kumite quiere hablar del karate, su finalidad y la necesidad de los entrenamientos. Para ello, sienta a los pequeños alumnos a su alrededor.

¿Qué figura forman? Es una  .

¿Por qué el maestro lo hace así? Porque así todos los alumnos están a la misma  del centro, que es la posición que ocupa .

Tres pueblos

Estamos haciendo senderismo y queremos recorrer tres pueblos.

Si miramos en un mapa, los puntos donde se encuentran son los de un triángulo.

En el interior de ese triángulo hay un punto que está a la misma distancia de los tres vértices.

Se trata del punto conocido como   del triángulo. Es el de la circunferencia .

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B: Reflexiona

Pregunta

El triángulo ABC de la figura es rectángulo, con el ángulo A de 90º.

Los puntos D y E están sobre la hipotenusa, de manera que se cumple que:

Triángulo rectángulo ABC con una mediana y una altura
  •  La distancia BM es igual a CM.
  •  El segmento AP es perpendicular a la hipotenusa.

Responde a las siguientes cuestiones eligiendo la opción correcta.

1. El segmento AP es una altura del triángulo ABC, porque:

Respuestas

Une el vértice A con el punto medio del lado opuesto.

Va desde A perpendicularmente al lado opuesto.

Es perpendicular a BC por su punto medio.

En realidad, AP no es una altura del triángulo, es una mediatriz.

Retroalimentación

Pregunta

2. Sabemos que AM...

Respuestas

Es de la misma longitud que BM.

Es una altura, porque une el vértice A con el punto medio del lado opuesto.

Es una mediana, porque une el vértice A con el punto medio del lado opuesto.

Es siempre de la misma longitud que uno de los catetos.

Retroalimentación

Pregunta

3. De acuerdo con el teorema de Pitágoras...

Respuestas

El cuadrado de la longitud BC es igual a la suma de los cuadrados de AB y AC.

El cuadrado de la longitud AC es igual a la suma de los cuadrados de AB y BC.

El cuadrado de la longitud AB es igual a la suma de los cuadrados de BC y AC.

La longitud de la hipotenusa BC es igual al cuadrado de la suma de los catetos AB y AC.

Retroalimentación

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