Bases y coordenadas

1.- Bases

Una base es un par ordenado de vectores libres no colineales.

Una base ortonormal o métrica es aquélla cuyos vectores son per­pen­diculares y unitarios[1].

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A partir de ahora traba­ja­re­mos solo con este último tipo de ba­ses, que de­nota­re­mos así: {i,j}.

Como las bases del plano tienen dos vectores, se dice que la di­men­sión del plano es 2.

Propiedades:

1ª) Todo vector a se puede descomponer según la ba­se {i,j} del si­guiente modo: a =x·i+y·j.

En efecto, sea O un punto cual­quie­ra del pla­no y OA el úni­co re­pre­sen­tan­te de a con ori­gen en O. Tra­zamos por A paralelas a los vectores i y j. Es evi­dente que a=[OA]=[OB]+[BA]. Pero co­mo [OB] es coli­neal con i e i≠0, por la segunda propiedad de los vectores colinea­les, [OB]=x·i. Y co­mo [BA] es colineal con j y j≠0, por la segunda propiedad de los vectores colineales, [BA]=y·j. En con­­se­cuencia: a=x·i+y·j.

2ª) La descomposición del vector a en la base {i,j} es única.

En efecto:

Þ x·i+y·j=x'·i+y'·j Þ (x-x')·i=(y'-y)·j

De aquí se deduce que los dos paréntesis son cero y, por tanto, que x=x' e y=y'. Pues si uno de ellos fuese distinto de cero, por ejemplo x-x', se podría escribir i=m·j, donde m=(y'-y)/(x-x'), lo que implicaría que i y j son colineales, por la primera propiedad de los vectores colineales.

2.- Coordenadas

Se llaman coordenadas del vector a=x·i+y·j en la ba­se {i,j} al par ordenado de números (x,y).

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Observa que, fijada una base, un vector libre queda determinado si se conocen sus coordenadas en dicha base, ya que se puede dibu­jar fácilmente un representante.

Recíprocamente, fijada una base y dibujado un representante de un vector libre hay que saber calcular sus coordenadas en dicha base. Para ello basta ir de su origen a su extremo por caminos pa­ralelos a los vectores de la base.

Fijada una base, el vector a=x·i+y·j puede, pues, identificar­se con sus coordenadas en dicha base, esto es: a=(x,y).

A partir de ahora supondremos fijada una base métrica {i,j}.

Propiedades:

Sean a=(x,y) y b=(x',y') dos vectores y t un número real:

1ª) a=b Û x=x', y=y'.

Es la segunda propiedad de las bases expresada de otro modo.

2ª) Las coordenadas del vector suma son la suma de las co­or­dena­das de los vectores sumandos. Esto es: a+b=(x+x',y+y').

En efecto:

a+b=(x·i+ y·j)+(x'·i+ y'·j)=(x+x')·i+(y+y')·j

Igual sucede con la resta.

3ª) Las coordenadas del vector producto t·a son las coorde­nadas del vector a multiplicadas por el número t. Esto es: t·a=(tx,ty).

En efecto:

t·a=t·(x·i+ y·j)=t(xi)+t(yj)=(tx)·i+(ty)·j

3.- Criterio de colinealidad

Si a=x·i+ y·j y b=x'·i+ y'·j son dos vectores li­bres:

a y b son colineales Û =

(Esta igualdad significa: x·y'=y·x')

En efecto:

Si a y b son colineales, los ángulos O y O' son iguales; y como B y B' son rectos, los triángulos AOB y A'O'B' son semejantes. En consecuencia, sus lados son proporcionales: x/x'=y/y'.

Recíprocamente, si x/x'=y/y', como B=90o=B', los triángulos AOB y A'O'B' son semejantes y, por tanto, los ángulos O y O' son igua­les. En consecuencia, a y b son colineales[2].